Ein einfaches Modell für die Ausbreitung einer Infektion

Eine Infektion - zum Beispiel die neue Grippe H1N1 - kann zur Epidemie werden, wenn ein Erkrankter mehr als einen zweiten Gesunden ansteckt. Dieser ebenfalls erkrankt und seinerseits mehr als einen Gesunden infiziert. Die mittlere Anzahl von Folgeinfektionen, die ein Erkrankter in einer Population Gesunder bewirkt, wird als Basisreproduktionsrate r0 bezeichnet. Nach Abklingen der Krankheit ist die Peson immun gegen den Erreger und kann nicht mehr angesteckt werden. Mit wachsender Anzahl von Infektionen und in der Folge der Immunisierten in der Population sinkt die Nettoreproduktionsrate r schließlich unter den Wert 1 und die Epidemie erlischt.

Wegen des zufälligen Charakters der Übertragung des Erregers führt nicht jede einzelne Infektion zum Ausbruch einer Erkrankungswelle. Wenn ein Kranker im Mittel n Kontakte hat, so ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass er eine gesunde Person ansteckt p = r / n. Die Wahrscheinlichkeit, dass er die Person nicht ansteckt ist 1 - r / n. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei n Kontakten keiner angesteck wird, ist (1- r / n)↑n. Für r = 2 und n = 10 beträgt die Wahrscheinlichkeit der Nichtansteckung immerhin 11%, für r = 1,4 ergibt die Gleichung 22% als Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 10 Kontakten keine Ansteckung erfolgt. Man erkennt an diesen Werten, dass der Ausbruch einer Epidemie durch das vereinzelte Einschleppen der Erreger durchaus nicht zwangsläufig erfolgt.

Im Flashfilm kannst Du den Verlauf der Erkrankungen an einem mathematischen Modell untersuchen. In den einschlägigen Publikationen werden für die neue Grippe H1N1 folgende Werte angeben:

Basisreproduktionsrate: 1,4 bis 2,0

Latenzdauer: 2 Tage

Infektiosität: 5 Tage bis 11 Tage

Rate der Durchimpfung in Deutschland: 5% Ende November 2009.

Der Film startet automatisch mit den in der Spalte links unten angezeigten Parametern. Ein Tag in der 'wirklichen Welt' dauert im Film eine Sekunde. Es ist - aus Gründen der verfügbaren Rechenleistung - eine Population von 10.000 Individuen vorgegeben. Der Zustand jedes Einzelnen ist in der Matrix links oben farblich gekennzeichnet. Der Farbcode ergibt sich aus den Farben der Parameternamen. Der y-t-Plot rechts oben zeigt den zeitlichen Verlauf der Ansteckungen, der Infektiosität, der Erkrankungen und der Immunität (= Summe der Erkrankten). Die Zahlenwerte werden in der unteren zweiten Spalte im Tagestakt ausgegeben. Das Säulendiagramm unten rechts zeigt die Verteilung der Anzahl infizierter Personen je Infektiösen. Der Film stoppt automatisch, wenn es keine kranke Person mehr gibt. Es werden dann die maximalen Tageswerte der Infizierten, der Infektiösen und der Kranken sowie der zugehörige Tag in der unteren zweiten Spalte ausgeben. Das Säulendiagramm zeigt die Verteilung der Anzahl infizierter Personen je Infektiösen über die gesamte Laufzeit der Epidemie.

Mit der Taste <Start/Stop> kann der Film gesteuert werden. Mir der Taste <Reset> werden die eventuell geänderten Parameterwerte übernommen und der Film wird neu gestartet.

Das hinterlegte Programm berechnet für jeden Infizierten die Dauer der Infektiosität aus einer Wahrscheinlichkeitsverteilung nach Poisson mit dem Erwartungswert = Dauer der Infektiosität.